leetcode每日一题-最长有效括号

最长有效括号

方法一：暴力法

类似于使用两个指针，一个指向当前的字符，一个指向当前字符的之后的字符，然后再判断这两个指针之间的字符串是否是有效的。但是会超时。

class Solution{

复杂度分析:

• 时间复杂度：$O(n^3)$。
• 空间复杂度：$O(n)$。

方法二：栈

遇到左右括号匹配的题目，我们一般都会用栈解决，这里也是可以的。我们始终保持栈底元素为当前已经遍历过的元素中「最后一个没有被匹配的右括号的下标」，这样的做法主要是考虑了边界条件的处理，栈里其他元素维护左括号的下标：

• 对于遇到的每个$($ ，我们将它的下标放入栈中。
• 对于遇到的每个$)$ ，我们先弹出栈顶元素表示匹配了当前右括号：
  1. 如果栈为空，说明当前的右括号为没有被匹配的右括号，我们将其下标放入栈中来更新我们之前提到的「最后一个没有被匹配的右括号的下标」
  2. 如果栈不为空，当前右括号的下标减去栈顶元素即为「以该右括号为结尾的最长有效括号的长度」

我们从前往后遍历字符串并更新答案即可。

需要注意的是，如果一开始栈为空，第一个字符为左括号的时候我们会将其放入栈中，这样就不满足提及的「最后一个没有被匹配的右括号的下标」，为了保持统一，我们在一开始的时候往栈中放入一个值为$-1$ 的元素。

总之，两种索引会入栈：等待匹配的左括号索引、充当“分隔符”的右括号索引。后者入栈因为：当左括号匹配光了，栈还需要留一个“垫底”的“参照物”。

class Solution {

复杂度分析：

• 时间复杂度：$O(n)$
• 空间复杂度：$O(n)$

方法三：动态规划

我们定义 $dp[i]$ 表示以下标 $i$ 字符结尾的最长有效括号的长度。我们将 $dp$ 数组全部初始化为 $0$ 。显然有效的子串一定以 $)$ 结尾，因此我们可以知道以 $($ 结尾的子串对应的 $dp$ 值必定为 $0$ ，我们只需要求解 $)$ 在 $dp$ 数组中对应位置的值。

我们从前往后遍历字符串求解 $dp$ 值，我们每两个字符检查一次：

1. 如果$s[i]==’)’ 且 s[i-1]==’(‘$ ，也就是形如$”……()”$的字符串，我们可以推出：
   $$
   dp[i]=dp[i-2]+2
   $$
   这是因为结束部分$’()’$是一个有效的子字符串，并且将之前有效字符串的长度增加了2。

2. 如果$s[i]==’)’且s[i-1]==’)’$，也就是形如$”……))”$的字符串，我们可以推出：

   如果$s[i-dp[i-1]-1]==’(‘$，那么
   $$
   dp[i] = dp[i-1] + dp[i-dp[i-1]-2]+2
   $$
   我们考虑如果倒数第二个 $)$ 是一个有效子字符串的一部分（记作 $sub_s$ ），对于最后一个 $)$ ，如果它是一个更长子字符串的一部分，那么它一定有一个对应的 $($ ，且它的位置在倒数第二个 $)$ 所在的有效子字符串的前面（也就是 $sub_s$ 的前面）。因此，如果子字符串 $sub_s$ 的前面恰好是 $($ ，那么我们就用 $2$ 加上 $sub_s$ 的长度（$dp[i-1]$）去更新 $dp[i]$。同时，我们也会把有效子串 $”(sub_s)”$ 之前的有效子串的长度也加上，也就是再加上 $dp[i−dp[i−1]−2]$。

最后答案即为$dp$数组中的最大数。

class Solution {

复杂度分析：

• 时间复杂度：$O(n)$
• 空间复杂度：$O(n)$